微分方程是什么？什么是微分方程？怎么解微分方程啊！！！！！！！
我不会我好菜

一阶微分方程

对于

$$
F(x,y,y^{(1)},y^{(2)},…,y^{(n)},)=0
$$

这样方程，称之为n阶微分方程，其中$y^{(n)}$是必需的。

当n=1时，上述方程称为一阶微分方程

  • 通解：含有n个独立的任意常数的函数
  • 特解：不含任意常数的函数

变量可分离

对于y和x部分可以完全分离的，可以写成这样的形式：

$$
\frac{dy}{g(y)}=h(x)dx
$$

两边积分，有通解

$$
\int{\frac{dy}{g(y)}}=\int{h(x)dx}+C
$$

齐次微分方程

若有形式

$$
\frac{dy}{dx}=f(x,y)
$$
则可以令

$$
u=\frac{y}{x}，即y=ux①
$$

同时，两边对x求导，则有

$$
dy=dux+dxu，即dy=dux+u②
$$

将①②代入到原方程

$$
dux+u = g(u)
$$

分离变量，积分可得

$$
\int{\frac{du}{g(u)-u}}=\int{\frac{dx}{x}}+C=\ln({|x|})+C
$$

一阶线性微分方程

对于一阶线性微分方程

$$
y^{(1)}+p(x)y=q(x)
$$

其通解为

$$
y=e^{-\int{p(x)dx}}[\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx}+C]
$$

二阶常系数齐次微分方程

对于
$$
y\prime\prime+py\prime+qy=0
$$
其中p、q都是常数
通过构造特征方程
$$
r^2+pr+q=0
$$
对于r的根和方程的解有以下对应关系

r根的关系 方程的解
不相等实根 $r_1 \neq r_2$ $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
相等实根 $r_1 = r_2$ $y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_2x}$
共轭复根 $r=\alpha \pm \beta i$ $y=C_1e^{\alpha x}cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}sin(\beta x)$

可以推广到更高阶，见2025考研数学·复习全书·基础篇 P208

二阶常系数非齐次微分方程

  • 首先求出其齐次形式的通解
  • 再求非齐次的特解(化成非齐次的标准形式)

类型1 $y\prime\prime+py\prime+qy=P_m(x)e^{ax}$

特解为

$$
y^*(x)=e^{ax}R_m(x)x^k
$$
其中R(x)为m次多项式（系数待定），k为特征方程和a的相同个数(0,1,2)

类型2 $y\prime\prime+py\prime+qy=e^{ax}(P_m(x)cos(bx)+Q_m(x)sin(bx))$

特解为

$$
y^*(x)=e^{ax}{R_m(x)cos(bx)+S_m(x)sin(bx)}x^k
$$
其中R(x),S(x)为m次多项式（系数待定），k为特征方程$\alpha \pm \beta i$的 和 $a + bi$ 相同个数(0,1)

可降阶方程

  • 没有y和$y\prime$，直接两次积分即可

  • 没有y，$y\prime\prime=f(x,y\prime)$
    令$p(x)=y\prime,y\prime\prime=\frac{dp}{dx}$,有
    $$
    \frac{dp}{dx}=f(x,p)
    $$
    正常积分即可

  • 没有x，$y\prime\prime=f(y,y\prime)$
    令$p(y)=y\prime,y\prime\prime=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$,有
    $$
    p\frac{dp}{dy}=f(y,p)
    $$
    正常积分即可

伯努利方程

方程

$$
y^{(1)}+p(x)y=q(x)y^{(n)}
$$

被称为伯努利方程，可以两边同时除以 $y^{(n)}$ 化为

$$
y^{1-n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x)
$$

令 $z=y^(1-n)$ 则有

$$
\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)
$$

从而可以使用一阶线性微分方程求通解的方法得到z的表达式，然后再代回y即得到原微分方程的通解。

全微分方程

对于

$$
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
$$

称 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 为全微分方程，通解为 $u(x,y)=C$ 。

设D为平面上的一个单连通区域，P和Q在D上连续且有连续的一阶偏导数，则全微分方程成立的充要条件是
$$
\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}
$$

求法

  • 偏积分

$$
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
$$

如果P和Q不确定，可以通过充要条件，确定P和Q。
然后两边对x积分 ，可以得到
$$
u(x,y) = \int{Pdx} + C(y)
$$
其中C(y)是在u对x求偏导的时候被当做了常数，这个时候 u对y求偏导就可以得到 Q，可以得出C(y)的表达式，然后代入到上面的u的表达式，即可得到u(x,y)=0 这个解

  • 折线法

$$
\because \int{du(x,y)}=\int{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}
$$
$$
\because \frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}
$$
$$
\therefore 与路径无关，从(0,0)\rightarrow(x,0)\rightarrow(x,y)
$$
$$
\therefore \int_{(0,0)}^{(x,y)}{du(x,y)}=\int{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}
$$
$$
\int_{(0,0)}^{(x,y)}{du(x,y)}=\int_{(0,0)}^{(x,0)}{P(x,y)dx}+{\int_{(x,0)}^{(x,y)}Q(x,y)dy}
$$

欧拉方程

$$
\frac{d^2y}{dx^2}+a_1x\frac{dy}{dx}+a_2y=f(x)
$$
被称为欧拉方程。

解法

若 x>0 ，可令 $x=e^t$做变量代换，有$t=lnx$,$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$,$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2}$
$$
\frac{d^2y}{dt^2}+(a_1-1)\frac{dy}{dt}+a_2y=f(e^t)
$$
是常系数微分方程的形式，解得y和t，然后换元回来即可。